Álgebra Ejemplos

$x + y = 5$ $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $5 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$ por $5 - y$ .

$y + 1 = 3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(5 - y)}^{2}$ como $(5 - y) (5 - y)$ .

$y + 1 = 3 ((5 - y) (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(5 - y) (5 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 3 (5 (5 - y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$y + 1 = 3 (25 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + 1 y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $5 y$ de $- 5 y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 3 \cdot 25 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.5.1

Multiplica $3$ por $25$ .

$y + 1 = 75 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.5.2

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 \cdot 5 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.7

Multiplica $2$ por $5$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.1.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $75$ y $10$ .

$y + 1 = - 30 y + 3 y^{2} + 85 - 2 y$

$x = 5 - y$

Paso 2.2.1.2.2

Resta $2 y$ de $- 30 y$ .

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$ .

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Paso 3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 = y + 1$

$x = 5 - y$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 - y = 1$

$x = 5 - y$

Paso 3.2.2

Resta $y$ de $- 32 y$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

Paso 3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 - 1 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.4

Resta $1$ de $85$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Factoriza $3$ de $- 33 y + 3 y^{2} + 84$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $3$ de $- 33 y$ .

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $3$ de $3 y^{2}$ .

$3 (- 11 y) + 3 (y^{2}) + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $3$ de $84$ .

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- 11 y) + 3 y^{2}$ .

$3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28$ .

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$3 (- 11 u + u^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.3

Factoriza $- 11 u + u^{2} + 28$ con el método AC.

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Paso 3.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 7, - 4$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.4

Factoriza.

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Paso 3.5.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 ((y - 7) (y - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.7

Establece $y - 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.7.1

Establece $y - 7$ igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.7.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7$

$x = 5 - y$

$y = 7$

$x = 5 - y$

Paso 3.8

Establece $y - 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.8.1

Establece $y - 4$ igual a $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Paso 3.8.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4$

$x = 5 - y$

$y = 4$

$x = 5 - y$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (y - 7) (y - 4) = 0$ verdadera.

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $7$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 - y$ por $7$ .

$x = 5 - (7)$

$y = 7$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $5 - (7)$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$x = 5 - 7$

$y = 7$

Paso 4.2.1.2

Resta $7$ de $5$ .

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 - y$ por $4$ .

$x = 5 - (4)$

$y = 4$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $5 - (4)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = 5 - 4$

$y = 4$

Paso 5.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 2, 7)$

$(1, 4)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 2, 7), (1, 4)$

Forma de la ecuación:

$x = - 2, y = 7$

$x = 1, y = 4$

Paso 8