Álgebra Ejemplos

$\sin (2 x) = 2 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Resta $2 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\sin (x) - \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x) - \cos (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) - \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2.4

Separa las fracciones.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 6.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 6.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Paso 6.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Paso 6.2.8

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = 1$

Paso 6.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 6.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 6.2.11

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.12

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 6.2.12.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.12.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.12.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.12.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 6.2.12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.12.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 6.2.12.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 6.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 6.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 6.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 6.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6.2.14

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

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Paso 8.1

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.2

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$