Álgebra Ejemplos

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Paso 1

Establece el argumento en $\arcsin (\cos (x))$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\cos (x) \geq - 1$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x \geq \arccos (- 1)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x \geq π$

Paso 2.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 2.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$π < x < 3 π$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $π < x < 3 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < 3 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\cos (6) \geq - 1$

Paso 2.8.1.3

$0.96017028$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$π < x < 3 π$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el argumento en $\arcsin (\cos (x))$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\cos (x) \leq 1$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x \leq \arccos (1)$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x \leq 0$

Paso 4.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 4.4

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 4.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.7

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < 2 π$

Paso 4.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.9.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.9.1.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\cos (3) \leq 1$

Paso 4.9.1.3

$- 0.98999249$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.9.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < 2 π$ Verdadero

Paso 4.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , para cualquier número entero $n$

Rango: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Paso 8