Álgebra Ejemplos

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{x - 2})$ ; para ello, mueve $x - 2$ fuera del logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Paso 3

Reescribe $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ como $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ .

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Paso 4

Expande $\ln (4^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(x - 2) \ln (5)$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Paso 5.1.1.2

Simplifica $- 2 \ln (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Paso 5.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $\ln (4)$ por $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Paso 5.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $\ln (25)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Paso 5.4.2

Suma $\ln (12)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Paso 5.5

Factoriza $x$ de $x \ln (5) - x \ln (4)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Paso 5.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Paso 5.5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \ln (4)$ como $- \ln (4)$ .

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Paso 5.7

Divide cada término en $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ por $\ln (5) - \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ por $\ln (5) - \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5) - \ln (4)$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Forma decimal:

$x = 25.56104552 \dots$