Álgebra Ejemplos

$2 y^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $2 y^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{2}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$d = 0$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $8$ .

$e = 0 - 0$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 y^{2}$ .

$2 y^{2}$

Paso 1.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = 2 y^{2}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{8}, 0)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{1}{8}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{1}{8}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{1}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(1, 0.70710678)$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.1.3

Convierte $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= 0.70710678$

Paso 2.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(1, - 0.70710678)$ .

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.2.2

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.3

Convierte $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= - 0.70710678$

Paso 2.3

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(2, 1)$ .

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Paso 2.3.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (2) = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$f (2) = 1$

Paso 2.3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.3.3

Convierte $1$ a decimal.

$= 1$

Paso 2.4

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(2, - 1)$ .

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Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Paso 2.4.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Paso 2.4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (2) = - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (2) = - 1$

Paso 2.4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 2.4.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 2.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{8}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Paso 4