Álgebra Ejemplos

${(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x})$ ; para ello, mueve $x^{2} + x$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + x) \ln (\frac{16}{25}) = \ln (1)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{16}{25})$ como $\ln (16) - \ln (25)$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (25)) = \ln (1)$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (5^{2})) = \ln (1)$

Paso 2.4

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - (2 \ln (5))) = \ln (1)$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ .

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Paso 3.1.1

Expande $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (\ln (16) - 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2

Reordena los factores en $x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Paso 5

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (16)$ .

$x (x \ln (16)) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2} \ln (5)$ .

$x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5)) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Paso 5.3

Factoriza $x$ de $x \ln (16)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) - 2 x \ln (5) = 0$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (5)$ .

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Paso 5.5

Factoriza $x$ de $x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5))$ .

$x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Paso 5.6

Factoriza $x$ de $x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Paso 5.7

Factoriza $x$ de $x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5))$ .

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16) - 2 \ln (5)) = 0$

Paso 6

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x (\ln (16) - 2 \ln (5)) + 1 (\ln (16) - 2 \ln (5))) = 0$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\ln (16) - 2 \ln (5)$ .

$x ((\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1)) = 0$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 9

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$