Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 4 x + 2 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2 - \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 2 > 0$

Paso 9.1.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2 > 0$

Paso 9.2.3

$- 2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2 + \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 2 > 0$

Paso 9.3.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Verdadero

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Falso

$x > 2 + \sqrt{2}$ Verdadero

$x < 2 - \sqrt{2}$ Verdadero

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Falso

$x > 2 + \sqrt{2}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 2 - \sqrt{2}$ o $x > 2 + \sqrt{2}$

Paso 11