Álgebra Ejemplos

$4 x^{2} + 9 x \leq x - 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x^{2} + 9 x - x \leq - 3$

Paso 1.2

Resta $x$ de $9 x$ .

$4 x^{2} + 8 x \leq - 3$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} + 8 x = - 3$

Paso 3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$4 x^{2} + 8 (x) + 3 = 0$

Paso 4.1.2

Reescribe $8$ como $2$ más $6$

$4 x^{2} + (2 + 6) x + 3 = 0$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 2 x + 6 x + 3 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} + 2 x) + 6 x + 3 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (2 x + 3) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Paso 6

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$

$x > - \frac{1}{2}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$4 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) \leq (- 4) - 3$

Paso 10.1.3

$28$ del lado izquierdo es mayor que $- 7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$4 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) \leq (- 1) - 3$

Paso 10.2.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$4 {(0)}^{2} + 9 (0) \leq (0) - 3$

Paso 10.3.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{3}{2}$ Falso

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > - \frac{1}{2}$ Falso

$x < - \frac{3}{2}$ Falso

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > - \frac{1}{2}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{3}{2} \leq x \leq - \frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{3}{2} \leq x \leq - \frac{1}{2}$

Notación de intervalo:

$[- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}]$

Paso 13