Álgebra Ejemplos

$\sin (165) \cdot \sin (15)$

Paso 1

El valor exacto de $\sin (165)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (15) \cdot \sin (15)$

Paso 1.2

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (45 - 30) \cdot \sin (15)$

Paso 1.3

Separa la negación.

$\sin (45 - (30)) \cdot \sin (15)$

Paso 1.4

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \sin (15)$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \sin (15)$

Paso 1.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cdot \sin (15)$

Paso 1.7

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cdot \sin (15)$

Paso 1.8

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.9.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.9.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \sin (15)$

Paso 1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (15)$

Paso 2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (45 - 30)$

Paso 2.2

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (45 - (30))$

Paso 2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 2.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Paso 2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Paso 2.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Paso 2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Paso 3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Paso 4

Reescribe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Paso 5

Expande $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.5

Multiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.6

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.9

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Paso 6.1.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.9.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.10

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.1.10.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Paso 6.1.13

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 6.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 6.1.13.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Paso 6.1.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Paso 6.1.13.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Paso 6.1.13.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Paso 6.1.13.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Paso 6.1.14

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Paso 6.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Paso 6.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Paso 6.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Paso 6.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Paso 6.1.14.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Paso 6.2

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Paso 6.3

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Paso 7

Cancela el factor común de $8 - 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Paso 7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Paso 7.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Paso 7.3

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Paso 7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.06698729 \dots$