Álgebra Ejemplos

$y = x e^{- x^{2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x e^{- x^{2}}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} x e^{- x^{2}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Reescribe $x e^{- x^{2}}$ como $\frac{x}{e^{x^{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Paso 3.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 3.2.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 3.2.1.3

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Paso 3.2.3.5

Simplifica.

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Paso 3.2.3.5.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Paso 3.2.3.5.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Paso 3.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Paso 3.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7