Álgebra Ejemplos

$2 \sin^{2} (θ) = \sin (θ) + 1$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\sin (θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 1$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 \sin^{2} (θ) + (1 - 2) \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin^{2} (θ) + 1 \sin (θ) - 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\sin (θ)$ por $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin (θ) (2 \sin (θ) + 1) - (2 \sin (θ) + 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \sin (θ) + 1$ .

$(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

Paso 4

Establece $2 \sin (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 4.1

Establece $2 \sin (θ) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 \sin (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 \sin (θ) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (θ) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 4.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 4.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 4.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 4.2.7

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 4.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 4.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 4.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 4.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 4.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Paso 4.2.9

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\sin (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 5.1

Establece $\sin (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\sin (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (θ) = 1$

Paso 5.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (1)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 5.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$