Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{2 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

Paso 1

Resta $\frac{- 5}{x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $- - \frac{5}{x}$ .

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{3}{2 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{5}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x - 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{3}{2 x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(2 x - 1) x$ .

$\frac{3 x}{x (2 x - 1)} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x + 5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{3 x + 10 x + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 10 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 2.6.4

Suma $3 x$ y $10 x$ .

$\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$13 x - 5 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$13 x = 5$

Paso 5

Divide cada término en $13 x = 5$ por $13$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $13 x = 5$ por $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{13}$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 7

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{5}{13}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{5}{13}, \frac{1}{2}$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (2 x - 1) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10.2.3

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.3.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 10.2.3.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 10.2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{13}$

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{2 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

Paso 12.1.3

$- 0.6$ del lado izquierdo no es mayor que $2.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{5}{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{5}{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.19$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0.19$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{2 (0.19) - 1} > \frac{- 5}{0.19}$

Paso 12.2.3

$- 4.83870967$ del lado izquierdo es mayor que $- 26.31578947$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.44$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0.44$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{2 (0.44) - 1} > \frac{- 5}{0.44}$

Paso 12.3.3

$- 25$ del lado izquierdo no es mayor que $- 11.\overline{36}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{2 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

Paso 12.4.3

$0.6$ del lado izquierdo es mayor que $- 1.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{5}{13}$ Verdadero

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadero

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{5}{13}$ Verdadero

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{5}{13}$ o $x > \frac{1}{2}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < \frac{5}{13} or x > \frac{1}{2}$

Notación de intervalo:

$(0, \frac{5}{13}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 15