Álgebra Ejemplos

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \div \frac{w^{2} - 5 w - 36}{w^{2} + 11 w + 28}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{w^{2} - 9^{2}}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = w$ y $b = 9$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ y cuya suma es $b = 27$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $27$ de $27 w$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 (w) - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3.1.2

Reescribe $27$ como $- 1$ más $28$

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + (- 1 + 28) w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} - 1 w + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w^{2} - 1 w) + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{w (4 w - 1) + 7 (4 w - 1)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 w - 1$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 4

Factoriza $w^{2} + 11 w + 28$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $11$ .

$4, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w^{2} - 5 w - 36}$

Paso 5

Factoriza $w^{2} - 5 w - 36$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 9, 4$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $w - 9$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $w - 9$ de $(w + 9) (w - 9)$ .

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{w + 9}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $w + 7$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $w + 7$ de $(4 w - 1) (w + 7)$ .

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Paso 6.2.2

Factoriza $w + 7$ de $(w + 4) (w + 7)$ .

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{w + 9}{4 w - 1} \cdot \frac{w + 4}{w + 4}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{w + 9}{4 w - 1}$ por $\frac{w + 4}{w + 4}$ .

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $w + 4$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{w + 9}{4 w - 1}$