Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 1 + 3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 6

Para escribir $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 7

Para escribir $- \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) {(x + 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) (x + 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8.3

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 8.6

Multiplica $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Expande $(x + 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x - 2 \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.5

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Paso 10.6

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{x^{2} + x + 4}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$