Álgebra Ejemplos

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ por $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Expande $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- \sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Paso 3.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Paso 3.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Paso 3.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Paso 3.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Paso 3.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Paso 3.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Paso 3.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Paso 3.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Paso 3.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Paso 3.2.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Paso 3.2.3

Resta $\sqrt{5}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Paso 3.2.4

Suma $- \sqrt{5}$ y $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Paso 4

Cancela el factor común de $4$ y $20$ .

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Paso 4.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Forma decimal:

$0.44721359 \dots$