Álgebra Ejemplos

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 1

Establece el argumento en $\arcsin (\sin (x))$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sin (x) \geq - 1$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Paso 2.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.3

Combina fracciones.

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Paso 2.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Paso 2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\sin (8) \geq - 1$

Paso 2.10.1.3

$0.98935824$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.10.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadero

Paso 2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el argumento en $\arcsin (\sin (x))$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sin (x) \leq 1$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x \leq \arcsin (1)$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Paso 4.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 4.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 4.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Paso 4.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.8.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 4.8.1.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) \leq 1$

Paso 4.8.1.3

$- 0.95892427$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.8.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

Paso 4.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , para cualquier número entero $n$

Rango: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Paso 8