Álgebra Ejemplos

$4^{y} < 5^{2 y + 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln (4^{y}) < \ln (5^{2 y + 1})$

Paso 2

Expande $\ln (4^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (4) < \ln (5^{2 y + 1})$

Paso 3

Expande $\ln (5^{2 y + 1})$ ; para ello, mueve $2 y + 1$ fuera del logaritmo.

$y \ln (4) < (2 y + 1) \ln (5)$

Paso 4

Resuelve la desigualdad en $y$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(2 y + 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (4) < 2 y \ln (5) + 1 \ln (5)$

Paso 4.1.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$y \ln (4) < 2 y \ln (5) + \ln (5)$

Paso 4.2

Resta $2 y \ln (5)$ de ambos lados de la desigualdad.

$y \ln (4) - 2 y \ln (5) < \ln (5)$

Paso 4.3

Factoriza $y$ de $y \ln (4) - 2 y \ln (5)$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $y$ de $y \ln (4)$ .

$y (\ln (4)) - 2 y \ln (5) < \ln (5)$

Paso 4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y \ln (5)$ .

$y (\ln (4)) + y (- 2 \ln (5)) < \ln (5)$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $y (\ln (4)) + y (- 2 \ln (5))$ .

$y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$

Paso 4.4

Divide cada término en $y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$ por $\ln (4) - 2 \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$ por $\ln (4) - 2 \ln (5)$ .

$\frac{y (\ln (4) - 2 \ln (5))}{\ln (4) - 2 \ln (5)} < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4) - 2 \ln (5)$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\ln (4) - 2 \ln (5))}{\ln (4) - 2 \ln (5)} < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Paso 5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$y > \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$y > \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Notación de intervalo:

$(\frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}, \infty)$

Paso 7