Álgebra Ejemplos

$\cos (θ) < 0$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ < \arccos (0)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Paso 3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 3$

Paso 9.1.2

Reemplaza $θ$ con $3$ en la desigualdad original.

$\cos (3) < 0$

Paso 9.1.3

$- 0.98999249$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$θ = 6$

Paso 9.2.2

Reemplaza $θ$ con $6$ en la desigualdad original.

$\cos (6) < 0$

Paso 9.2.3

$0.96017028$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11