Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x - 2) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $x ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot x + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 6.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.3.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.3.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.5

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.6

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 4$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.6.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.6.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$