Álgebra Ejemplos

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 9 x + 18}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} + 9 x + 18}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $9$ .

$3, 6$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 4}{3^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Factoriza $4 x$ de $24 x - 4 x^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4 x$ de $24 x$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) + 4 x (- x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (6) + 4 x (- x)$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.2.2

Factoriza $4$ de $4 x (6 - x)$ .

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)}$ por $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)}$ .

$\frac{- ((x + 3) (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x + 3$ de $- (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$

Paso 5.5

Multiplica $\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$ por $\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$ .

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $x - 3$ y $3 - x$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Paso 5.7.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Paso 5.7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Paso 5.7.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Paso 5.7.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Paso 5.7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (x - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $x - 6$ y $6 - x$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Paso 5.8.2

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 1 (6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Paso 5.8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Paso 5.8.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Paso 5.8.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Paso 5.8.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{(3 + x) x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 \cdot - 1}{(3 + x) x}$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{(3 + x) x}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{(3 + x) x}$

Paso 7.2

Reordena los factores en $- \frac{1}{(3 + x) x}$ .

$- \frac{1}{x (3 + x)}$