Álgebra Ejemplos

$\sin (3 x) = 1$ , $0 \leq x < 2 π$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x = \arcsin (1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Paso 3

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$3 x = π - \frac{π}{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.1.2

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 2$ .

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Paso 5.1.4.1

Reordena $π$ y $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 5.1.4.2

Resta $π$ de $2 \cdot π$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (3 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 7

El período de la función $\sin (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Paso 8.1.2

Simplifica.

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Paso 8.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.1.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Paso 8.1.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Paso 8.1.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Paso 8.1.2.1.1.2.4

Divide $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Paso 8.1.2.1.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 8.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Paso 8.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Paso 8.1.2.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 8.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 8.2

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.2.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Paso 8.2.2.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.2.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 8.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Paso 8.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Paso 8.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Paso 8.2.2.5.2

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 8.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 8.3

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.3.1

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.2.3.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Paso 8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Paso 8.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Paso 8.3.2.5.2

Suma $π$ y $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Paso 8.3.2.6

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 8.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Paso 8.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Paso 8.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 π}{2}$

Paso 8.3.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$