Álgebra Ejemplos

$1$ y $- 4 i$

Paso 1

Las raíces son los puntos en los que la gráfica forma una intersección con el eje x $(y = 0)$ .

$y = 0$ en las raíces

Paso 2

La raíz de $x = 1$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (1) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 1$ .

Paso 3

La raíz de $x = - 4 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (- 4 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x + 4 i$ .

Paso 4

La raíz de $x = 4 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (4 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 4 i$ .

Paso 5

Combina todos los factores en una sola ecuación.

$y = (x - 1) (x + 4 i) (x - 4 i)$

Paso 6

Multiplica todos los factores para simplificar la ecuación $y = (x - 1) (x + 4 i) (x - 4 i)$ .

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Paso 6.1

Expande $(x - 1) (x + 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x (x + 4 i) - 1 (x + 4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (4 i) - 1 (x + 4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (4 i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x (4 i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = (x^{2} + 4 \cdot (x i) - 1 x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = (x^{2} + 4 x i - x - 1 (4 i)) (x - 4 i)$

Paso 6.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = (x^{2} + 4 x i - x - 4 i) (x - 4 i)$

Paso 6.3

Expande $(x^{2} + 4 x i - x - 4 i) (x - 4 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = x^{2} x + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.4.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x i x + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 (x \cdot x) i + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 4 x i (- 4 i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $4 x i (- 4 i)$ .

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Paso 6.4.1.3.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i i - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x (i i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x (i i) - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i^{1 + 1} - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x i^{2} - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i - 16 x \cdot - 1 - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x \cdot x - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.6.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - (x \cdot x) - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} - x (- 4 i) - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 4 i (- 4 i)$

Paso 6.4.1.8

Multiplica $- 4 i (- 4 i)$ .

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Paso 6.4.1.8.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i i$

Paso 6.4.1.8.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 (i i)$

Paso 6.4.1.8.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 (i i)$

Paso 6.4.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i^{1 + 1}$

Paso 6.4.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 i^{2}$

Paso 6.4.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x + 16 \cdot - 1$

Paso 6.4.1.10

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Paso 6.4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.4.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} (- 4 i) + 4 x^{2} i + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Reordena los factores en los términos $x^{2} (- 4 i)$ y $4 x^{2} i$ .

$y = x^{3} - 4 i x^{2} + 4 i x^{2} + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $- 4 i x^{2}$ y $4 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.3

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 4 x i - 4 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.4

Reordena los factores en los términos $4 x i$ y $- 4 i x$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 4 i x - 4 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.5

Resta $4 i x$ de $4 i x$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} + 0 - 16$

Paso 6.4.2.1.6

Suma $x^{3} + 16 x - x^{2}$ y $0$ .

$y = x^{3} + 16 x - x^{2} - 16$

Paso 6.4.2.2

Mueve $16 x$ .

$y = x^{3} - x^{2} + 16 x - 16$

Paso 7