Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ .

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

Paso 3.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5^{y}}$ como $5^{\frac{y}{3}}$ .

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 9)}^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $81$ por $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Paso 3.5.2

Expande $\ln (5^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $243$ por $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.2

Resta $729$ de $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

Paso 5.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

Paso 5.3.3.3

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

Paso 5.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$