Álgebra Ejemplos

$9 x^{4} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 7 = - 63$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 2$ como $7$ más $- 9$

$9 u^{2} + (7 - 9) u - 7 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 u^{2} + 7 u - 9 u - 7 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 u^{2} + 7 u) - 9 u - 7 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (9 u + 7) - (9 u + 7) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u + 7$ .

$(9 u + 7) (u - 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 1.6

Factoriza.

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Paso 1.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(9 x^{2} + 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $9 x^{2} + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $9 x^{2} + 7$ igual a $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $9 x^{2} + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} = - 7$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $9 x^{2} = - 7$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $9 x^{2} = - 7$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{9}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{7}{9}$

Paso 3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $- \frac{7}{9}$ como ${(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{9}}$

Paso 3.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{9}}$

Paso 3.2.4.1.3

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.2.4.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \cdot 7)}$

Paso 3.2.4.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ como ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7}$

Paso 3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{7}$

Paso 3.2.4.3

Combina $\frac{i}{3}$ y $\sqrt{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}, - 1, 1$