Álgebra Ejemplos

${(y^{- 2})}^{4} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{- 2})}^{4}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{- 2 \cdot 4} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Paso 1.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y^{- 8} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{5}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{5}}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{3} y^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{3} y^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{6}}{y^{6}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{6}}{y^{6}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $y^{8}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{y^{6}}{y^{6}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{2} y^{6}}$

Paso 3.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{2 + 6}}$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{8}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + y^{6}}{y^{8}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1^{3} + y^{6}}{y^{8}}$

Paso 5.2

Reescribe $y^{6}$ como ${(y^{2})}^{3}$ .

$\frac{1^{3} + {(y^{2})}^{3}}{y^{8}}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = y^{2}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1^{2} - 1 y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - 1 y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Paso 5.4.2

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Paso 5.4.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + y^{2 \cdot 2})}{y^{8}}$

Paso 5.4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + y^{4})}{y^{8}}$