Álgebra Ejemplos

$\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 x (x - 4)) = \log (15)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Paso 1.4

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\log (3 x^{2} - 12 x) = \log (15)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$3 x^{2} - 12 x = 15$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12 x - 15$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 15 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 15 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 5) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$ sea verdadera.

$x = 5$