Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{3 x + 9} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$\frac{4 x^{2} + (- 1 + 8) x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 1 x + 8 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} - 1 x) + 8 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (4 x - 1) + 2 (4 x - 1)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 x + 9$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x) + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 x + 3 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 3.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 4}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x + 2$ de $(4 x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + 3$ de $3 (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2}$

Paso 6.2.2

Factoriza $x + 3$ de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - 1}{3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{4 x - 1}{3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x - 2)}{3 (x - 2)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x - 1) (x - 2)}{3 (x - 2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - 1}{3}$