Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 3.2

Eleva $2 + \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 3.3

Eleva $2 + \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}$

Paso 4

Reescribe ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 5

Expande $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}$

Paso 6.1.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Paso 6.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}$

Paso 6.2

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.3

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Cancela el factor común de $6 + 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 7.4.4

Divide $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$3 + 2 \sqrt{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 + 2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$5.82842712 \dots$