Álgebra Ejemplos

$- x^{3} + 3 x^{2} - 4$

Paso 1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 3 x^{2} - 4$ .

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Paso 1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 3 x^{2} - 4$

Paso 1.2

Factoriza $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) - 4$

Paso 1.3

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) - 1 (4)$

Paso 1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$- (x^{3} - 3 x^{2}) - 1 (4)$

Paso 1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$- (x^{3} - 3 x^{2} + 4)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 2.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Paso 2.3.5

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Paso 2.3.6

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 2.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Paso 2.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ por $x + 1$ .

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Paso 2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Paso 2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Paso 2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Paso 2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Paso 2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Paso 2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 2.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ como un conjunto de factores.

$- ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4))$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}))$

Paso 3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.1.3

Reescribe el polinomio.

$- ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Paso 3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- ((x + 1) {(x - 2)}^{2})$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 1) {(x - 2)}^{2}$