Álgebra Ejemplos

$\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}} = 5$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $7$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}}^{7} = 5^{7}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}$ como ${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 5^{7}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $16$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Paso 2.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25})}^{1} = 5^{7}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 5^{7}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 78125$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $5^{x} + 25$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $5^{x} + 25$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 (5^{x} + 25)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $78125 (5^{x} + 25)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $78125 \cdot 5^{x}$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Reescribe $78125$ como $5^{7}$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7} \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Paso 3.2.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 78125 \cdot 25$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $78125$ por $25$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 1953125$

Paso 3.2.2.1.4

Reordena $7$ y $x$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Factoriza $5^{x}$ de la expresión.

$5^{x} (1 - 78125)$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $152587890625$ de ambos lados de la ecuación.

$5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125 - 152587890625$

Paso 3.3.2.2

Resta $152587890625$ de $1953125$ .

$5^{x} = 5^{x + 7} - 152585937500$

Paso 3.3.3

Resta $5^{x + 7}$ de ambos lados de la ecuación.

$5^{x} - 5^{x + 7} = - 152585937500$

Paso 3.3.4

Resta $78125$ de $1$ .

$5^{x} \cdot - 78124 = - 152585937500$

Paso 3.3.5

Mueve $- 78124$ a la izquierda de $5^{x}$ .

$- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$

Paso 3.3.6

Divide cada término en $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ por $- 78124$ y simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Divide cada término en $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ por $- 78124$ .

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Paso 3.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.6.2.1

Cancela el factor común de $- 78124$ .

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Paso 3.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Paso 3.3.6.2.1.2

Divide $5^{x}$ por $1$ .

$5^{x} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Paso 3.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.6.3.1

Divide $- 152585937500$ por $- 78124$ .

$5^{x} = 1953125$

Paso 3.3.7

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{x} = 5^{9}$

Paso 3.3.8

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 9$