Álgebra Ejemplos

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = n$ y $b = m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2.2

Factoriza $- 1$ de $- m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2.4

Reordena.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 4.2

Reordena los factores de $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $m$ .

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 6.4

Reescribe $- 1 m$ como $- m$ .

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 6.5

Resta $2 n$ de $3 n$ .

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $- m + n$ y $m - n$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $- m$ .

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $n$ .

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (m) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- (m - n)$ como $- 1 (m - n)$ .

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Paso 7.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$