Álgebra Ejemplos

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Paso 3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ .

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Paso 6.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Paso 6.3

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Paso 6.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Multiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Paso 6.5.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Paso 6.5.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Paso 6.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Paso 6.7

Resuelve $x$

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Paso 6.7.1

Resta $0$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Paso 6.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.7.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 6.7.2.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.7.2.3

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 6.7.2.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Paso 6.7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Paso 6.7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Paso 6.7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Paso 6.7.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.4.2.1

Multiplica $2 \frac{5 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.4.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Paso 6.7.4.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Paso 6.8

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 6.8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 6.8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 6.8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 6.9

Suma $4 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.9.1

Suma $4 π$ y $- \frac{2 π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Paso 6.9.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 6.9.3

Combina fracciones.

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Paso 6.9.3.1

Combina $4 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 6.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 6.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.9.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Paso 6.9.4.2

Resta $2 π$ de $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Paso 6.9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{10 π}{3}$

Paso 6.10

El período de la función $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ .

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Paso 7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Paso 7.3.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.3.3

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 7.3.5.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.2.1

Multiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 7.5.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Paso 7.5.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.6

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Paso 7.7

Resuelve $x$

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Paso 7.7.1

Resta $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Paso 7.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.7.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Paso 7.7.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.7.2.3

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.7.2.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 7.7.2.5.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 7.7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.7.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 7.7.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.7.4.2.1

Multiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.7.4.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Paso 7.7.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 7.8

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Paso 7.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 7.8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 7.9

El período de la función $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$