Álgebra Ejemplos

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 2 x + 2$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 2 x + 2$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 2 x + 2$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 2 x + 2$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 x + 2$

Paso 5

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2 (1)$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$

Paso 6

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 2 (x + 1)$

Paso 6.2

Factoriza $x + 1$ de $2 (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$

Paso 6.3

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 2)$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Paso 8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Paso 8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Paso 8.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Paso 9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 2)$

Paso 10

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 2)$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Factoriza $x^{3} - x^{2} + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 11.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 11.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 11.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 11.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 11.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 11.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Paso 11.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Paso 11.1.3.5

Resta $1$ de $- 1$ .

$- 2 + 2$

Paso 11.1.3.6

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 11.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Paso 11.1.5

Divide $x^{3} - x^{2} + 2$ por $x + 1$ .

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Paso 11.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 11.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Paso 11.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 11.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 11.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 11.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 11.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 11.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 11.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 11.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Paso 11.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 11.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 11.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 11.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Paso 11.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 11.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Paso 11.1.6

Escribe $x^{3} - x^{2} + 2$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

Paso 12

Combina exponentes.

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Paso 12.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

${(x + 1)}^{1} (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

Paso 12.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

${(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x^{2} - 2 x + 2)$

Paso 12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x^{2} - 2 x + 2)$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 2)$