Álgebra Ejemplos

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 3.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.6

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 3.8.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 3.9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Paso 3.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Paso 3.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.9.2.1

Evalúa $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.66623943$

Paso 3.9.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Paso 3.9.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.9.4.1

Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Paso 3.9.4.2

El ángulo resultante de $2.47535322$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2.47535322$

Paso 3.9.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.9.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.10

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$