Álgebra Ejemplos

$x + 3 y^{2} + 12 y = 18$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 12 y = 18 - 3 y^{2}$

Paso 1.1.2

Resta $12 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 18 - 3 y^{2} - 12 y$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $18 - 3 y^{2} - 12 y$ .

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Paso 1.2.1

Mueve $18$ .

$- 3 y^{2} - 12 y + 18$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = - 12$

$c = 18$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 3)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{- 3}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 3$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 6$ .

$d = \frac{- 3 (2)}{- 3}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.4.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 18 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 18 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = 18 - \frac{144}{- 12}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Divide $144$ por $- 12$ .

$e = 18 - - 12$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$e = 18 + 12$

Paso 1.2.5.2.2

Suma $18$ y $12$ .

$e = 30$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$ .

$- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 3$

$h = 30$

$k = - 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(30, - 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{359}{12}, - 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 2$

Paso 8