Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x + 4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 8 x + 15$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $8$ .

$3, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 4$ de $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)} (x^{2} + 10 x + 25)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)}$ por $x^{2} + 10 x + 25$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{(x + 3) (x + 5)}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}}{(x + 3) (x + 5)}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(x + 5)}^{2}$ y $x + 5$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 5$ de $(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 3) (x + 5)}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{x + 3}$