Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 5 x + 6}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 (x) - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + (1 - 6) x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x^{2} + x) - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 7

Cancela el factor común de $3 x + 1$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{3 x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 8

Multiplica $\frac{x + 4}{3 x - 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{3 x - 1}$