Álgebra Ejemplos

$\frac{a - 1}{a} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$a = 0$

$a - 1 = 0$

Paso 2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 1$

Paso 3

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$a = 0$

$a = 1$

Paso 4

Consolida las soluciones.

$a = 0, 1$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{a - 1}{a}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{a - 1}{a}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$a = 0$

Paso 5.2

El dominio son todos los valores de $a$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$a < 0$

$0 < a < 1$

$a > 1$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $a < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $a < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $a$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 2) - 1}{- 2} < 0$

Paso 7.1.3

$1.5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < a < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < a < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 0.5$

Paso 7.2.2

Reemplaza $a$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{(0.5) - 1}{0.5} < 0$

Paso 7.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $a > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $a > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 4$

Paso 7.3.2

Reemplaza $a$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) - 1}{4} < 0$

Paso 7.3.3

$0.75$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$a < 0$ Falso

$0 < a < 1$ Verdadero

$a > 1$ Falso

$a < 0$ Falso

$0 < a < 1$ Verdadero

$a > 1$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < a < 1$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < a < 1$

Notación de intervalo:

$(0, 1)$

Paso 10