Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ como una ecuación.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ .

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $3^{2 y}$ por $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $- 4$ por $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.5

Expande $\ln (3^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ por $2 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ por $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 3.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 3.6.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3^{2 x}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $2$ de $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.3.4.4

Divide $3^{2 x} + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $3^{2 x} + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.4.2

Suma $3^{2 x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Paso 5.2.5

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Paso 5.2.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Paso 5.3.3.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Paso 5.3.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Paso 5.3.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Paso 5.3.3.2

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Paso 5.3.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Paso 5.3.3.4.2

Simplifica $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 4}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Paso 5.3.3.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$