Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 10 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 2.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 2.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x + 9) - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2} - 10 x + 9$ con el método AC.

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Paso 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x^{2} ((x - 9) (x - 1)) - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 x - 9$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 (x) - 9$

Paso 4.1.2

Reescribe $10$ como $1$ más $9$

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + (1 + 9) x - 9$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 1 x + 9 x - 9$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + x + 9 x - 9$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x^{2} + x) + 9 x - 9$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + x (- x + 1) - 9 (- x + 1)$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$

Paso 5

Factoriza $x - 9$ de $x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x - 9$ de $x^{2} (x - 9) (x - 1)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (- x + 1) (x - 9)$

Paso 5.2

Factoriza $x - 9$ de $(- x + 1) (x - 9)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$

Paso 5.3

Factoriza $x - 9$ de $(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - x + 1)$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Paso 7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x - 9) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Paso 7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Paso 7.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x - 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Paso 8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x - 9) (x^{3} - 1 x^{2} - x + 1)$

Paso 9

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x - 9) (x^{3} - x^{2} - x + 1)$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Reescribe $x^{3} - x^{2} - x + 1$ en forma factorizada.

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Paso 10.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 9) ((x^{3} - x^{2}) - x + 1)$

Paso 10.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - (x - 1))$

Paso 10.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1))$

Paso 10.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Paso 10.1.4

Factoriza.

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Paso 10.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Paso 10.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 9) ((x - 1) (x + 1) (x - 1))$

Paso 10.1.5

Combina exponentes.

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Paso 10.1.5.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1))$

Paso 10.1.5.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1))$

Paso 10.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1))$

Paso 10.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{2} (x + 1))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 9) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$