Álgebra Ejemplos

$2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \log (2 x + 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Simplifica $\log (16) + 2 \log (x - 2)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log (x - 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + \log ({(x - 2)}^{2})$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16 {(x - 2)}^{2})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 {(x - 2)}^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Simplifica $16 {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 ((x - 2) (x - 2))$

Paso 4.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 4.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Paso 4.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} + 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 16 \cdot 4$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $16$ por $4$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 64$

Paso 4.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = {(2 x + 2)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica ${(2 x + 2)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe ${(2 x + 2)}^{2}$ como $(2 x + 2) (2 x + 2)$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = (2 x + 2) (2 x + 2)$

Paso 4.3.2

Expande $(2 x + 2) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2)$

Paso 4.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2)$

Paso 4.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2$

Paso 4.3.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Paso 4.3.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} = 8 x + 4$

Paso 4.4.2

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} - 8 x = 4$

Paso 4.4.3

Resta $4 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 64 x + 64 - 8 x = 4$

Paso 4.4.4

Resta $8 x$ de $- 64 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 = 4$

Paso 4.5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} - 72 x + 64 - 4 = 0$

Paso 4.6

Resta $4$ de $64$ .

$12 x^{2} - 72 x + 60 = 0$

Paso 4.7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.7.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 72 x + 60$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 60 = 0$

Paso 4.7.1.2

Factoriza $12$ de $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 60 = 0$

Paso 4.7.1.3

Factoriza $12$ de $60$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Paso 4.7.1.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Paso 4.7.1.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Paso 4.7.2

Factoriza.

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Paso 4.7.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 4.7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 4.7.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Paso 4.7.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 4.8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4.9

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.9.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.9.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.10

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.10.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.10.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, 1$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$ sea verdadera.

$x = 5$