Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1^{x}}{8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.3

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.4

Multiplica $1$ por $1^{x}$ .

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Paso 1.4.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1^{1} \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1^{1 + x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.6.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.6.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 2^{3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 2

Simplifica ${(\frac{1}{4})}^{x}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1^{x}}{4^{x}}$

Paso 2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1}{4^{x}}$

Paso 3

Resta $\frac{1}{4^{x}}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} - \frac{1}{4^{x}} \leq 0$

Paso 4

Mueve $- \frac{1}{4^{x}}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} = \frac{1}{4^{x}}$

Paso 5

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 6

Reescribe $\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}})$ como $\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x})$ .

$\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 7

Expande $\ln (2^{4 + 3 x})$ ; para ello, mueve $4 + 3 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (1) - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 8

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 9

Resta $(4 + 3 x) \ln (2)$ de $0$ .

$- ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 10

Elimina los paréntesis.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Paso 11

Reescribe $\ln (\frac{1}{4^{x}})$ como $\ln (1) - \ln (4^{x})$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - \ln (4^{x})$

Paso 12

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - (x \ln (4))$

Paso 13

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = 0 - (x \ln (4))$

Paso 14

Resta $x \ln (4)$ de $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - (x \ln (4))$

Paso 15

Elimina los paréntesis.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 16.1

Simplifica $- (4 + 3 x) \ln (2)$ .

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Paso 16.1.1

Reescribe.

$0 + 0 - (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.1.4

Multiplica.

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Paso 16.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(- 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(- 4 - 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) = - x \ln (4)$

Paso 16.2

Suma $x \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 0$

Paso 16.3

Suma $4 \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Paso 16.4

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (2) + x \ln (4)$ .

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Paso 16.4.1

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (2)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Paso 16.4.2

Factoriza $x$ de $x \ln (4)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4)) = 4 \ln (2)$

Paso 16.4.3

Factoriza $x$ de $x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4))$ .

$x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$

Paso 16.5

Divide cada término en $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 16.5.1

Divide cada término en $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Paso 16.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 16.5.2.1

Cancela el factor común de $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

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Paso 16.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Paso 16.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Paso 16.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) + \ln (4)}$

Paso 16.5.3.2

Factoriza $- 1$ de $\ln (4)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))}$

Paso 16.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Paso 16.5.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 16.5.3.4.1

Reescribe $- (3 \ln (2) - \ln (4))$ como $- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Paso 16.5.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Notación de intervalo:

$[- \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}, \infty)$

Paso 19