Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ por $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1} \cdot \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ por $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{(2 \sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} + 1)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Paso 2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{1} - 1}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1) + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $2 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1.2.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.3.5

Simplifica.

$\frac{2 x + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.4

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Paso 4.2

Suma $\sqrt{x}$ y $6 \sqrt{x}$ .

$\frac{2 x + 7 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.2

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.3

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 u + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $7$ de $7 u$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 (u) + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$\frac{2 u^{2} + (1 + 6) u + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 u^{2} + 1 u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{2 u^{2} + u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 u^{2} + u) + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{4 x - 1}$

Paso 5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$\frac{(2 u + 1) (u + 3)}{4 x - 1}$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 3)}{4 x - 1}$