Álgebra Ejemplos

${(10 x^{2} + 11 x)}^{2} - 15 (10 x^{2} + 11 x) - 54$

Paso 1

Sea $u = 10 x^{2} + 11 x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $10 x^{2} + 11 x$ .

$u^{2} - 15 u - 54$

Paso 2

Factoriza $u^{2} - 15 u - 54$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 54$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 18, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 18) (u + 3)$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10 x^{2} + 11 x$ .

$(10 x^{2} + 11 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot - 18 = - 180$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$(10 x^{2} + 11 (x) - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4.1.2

Reescribe $11$ como $- 9$ más $20$

$(10 x^{2} + (- 9 + 20) x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(10 x^{2} - 9 x + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$((10 x^{2} - 9 x) + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x (10 x - 9) + 2 (10 x - 9)) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $10 x - 9$ .

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot 3 = 30$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 (x) + 3)$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $11$ como $5$ más $6$

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + (5 + 6) x + 3)$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 5 x + 6 x + 3)$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(10 x - 9) (x + 2) ((10 x^{2} + 5 x) + 6 x + 3)$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(10 x - 9) (x + 2) (5 x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1))$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(10 x - 9) (x + 2) ((2 x + 1) (5 x + 3))$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(10 x - 9) (x + 2) (2 x + 1) (5 x + 3)$