Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{x^{2} - 49} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 4) (x - 7) (x + 7)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (x - 4) - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 3 \cdot 7}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.6

Resta $3 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 6.7.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7.1.2

Reescribe $- 11$ como $3$ más $- 14$

$\frac{2 x^{2} + (3 - 14) x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x + 3) - 7 (2 x + 3)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 6.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x + 3}{(x + 7) (x - 4)}$