Álgebra Ejemplos

$x^{8} - 5 x^{4} + 4 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 5 x^{4} + 4 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$(x^{4} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 8

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Paso 9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Paso 11.1.2

Factoriza.

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Paso 11.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Paso 11.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$