Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{9})}^{x} \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} = 3^{16 - x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{1}{9})}^{x} \cdot {(\frac{1}{3})}^{x}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 2

Reescribe $\ln ({(\frac{1}{9})}^{x} \cdot {(\frac{1}{3})}^{x})$ como $\ln ({(\frac{1}{9})}^{x}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{x})$ .

$\ln ({(\frac{1}{9})}^{x}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{x}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 3

Expande $\ln ({(\frac{1}{9})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{1}{9}) + \ln ({(\frac{1}{3})}^{x}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 4

Expande $\ln ({(\frac{1}{3})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{1}{9}) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{1}{9})$ como $\ln (1) - \ln (9)$ .

$x (\ln (1) - \ln (9)) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x (0 - \ln (9)) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 7

Reescribe $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$x (0 - \ln (3^{2})) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 8

Expande $\ln (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x (0 - (2 \ln (3))) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (0 - 2 \ln (3)) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 10

Resta $2 \ln (3)$ de $0$ .

$x (- 2 \ln (3)) + x \ln (\frac{1}{3}) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 11

Reescribe $\ln (\frac{1}{3})$ como $\ln (1) - \ln (3)$ .

$x (- 2 \ln (3)) + x (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 12

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x (- 2 \ln (3)) + x (0 - \ln (3)) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 13

Resta $\ln (3)$ de $0$ .

$x (- 2 \ln (3)) + x (- \ln (3)) = \ln (3^{16 - x})$

Paso 14

Expande $\ln (3^{16 - x})$ ; para ello, mueve $16 - x$ fuera del logaritmo.

$x (- 2 \ln (3)) + x (- \ln (3)) = (16 - x) \ln (3)$

Paso 15

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 15.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.1.1

Reordena $x$ y $- 1$ .

$- 2 \cdot (x \ln (3)) - 1 \cdot (x \ln (3)) = (16 - x) \ln (3)$

Paso 15.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- 2 x \ln (3) - x \ln (3) = (16 - x) \ln (3)$

Paso 15.1.3

Resta $x \ln (3)$ de $- 2 x \ln (3)$ .

$- 3 x \ln (3) = (16 - x) \ln (3)$

Paso 15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x \ln (3) = 16 \ln (3) - x \ln (3)$

Paso 15.2.2

Reordena $16 \ln (3)$ y $- x \ln (3)$ .

$- 3 x \ln (3) = - x \ln (3) + 16 \ln (3)$

Paso 15.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.3.1

Simplifica $- 3 x \ln (3)$ .

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Paso 15.3.1.1

Simplifica $- 3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x (- \ln (3^{3})) = - x \ln (3) + 16 \ln (3)$

Paso 15.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x (- \ln (27)) = - x \ln (3) + 16 \ln (3)$

Paso 15.3.1.3

Reordena los factores en $x (- \ln (27))$ .

$- x \ln (27) = - x \ln (3) + 16 \ln (3)$

Paso 15.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.1.1

Simplifica $16 \ln (3)$ al mover $16$ dentro del algoritmo.

$- x \ln (27) = - x \ln (3) + \ln (3^{16})$

Paso 15.4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $16$ .

$- x \ln (27) = - x \ln (3) + \ln (43046721)$

Paso 15.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (27) + x \ln (3) - \ln (43046721) = 0$

Paso 15.6

Suma $\ln (43046721)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (27) + x \ln (3) = \ln (43046721)$

Paso 15.7

Factoriza $x$ de $- x \ln (27) + x \ln (3)$ .

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Paso 15.7.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (27)$ .

$x (- 1 \ln (27)) + x \ln (3) = \ln (43046721)$

Paso 15.7.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (27)) + x (\ln (3)) = \ln (43046721)$

Paso 15.7.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (27)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$

Paso 15.8

Reescribe $- 1 \ln (27)$ como $- \ln (27)$ .

$x (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$

Paso 15.9

Divide cada término en $x (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$ por $- \ln (27) + \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 15.9.1

Divide cada término en $x (- \ln (27) + \ln (3)) = \ln (43046721)$ por $- \ln (27) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (27) + \ln (3))}{- \ln (27) + \ln (3)} = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Paso 15.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.9.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (27) + \ln (3)$ .

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Paso 15.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (27) + \ln (3))}{- \ln (27) + \ln (3)} = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Paso 15.9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Paso 15.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.9.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \ln (27)$ .

$x = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) + \ln (3)}$

Paso 15.9.3.2

Factoriza $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = \frac{\ln (43046721)}{- \ln (27) - 1 (- \ln (3))}$

Paso 15.9.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (27) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{\ln (43046721)}{- (\ln (27) - \ln (3))}$

Paso 15.9.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 15.9.3.4.1

Reescribe $- (\ln (27) - \ln (3))$ como $- 1 (\ln (27) - \ln (3))$ .

$x = \frac{\ln (43046721)}{- 1 (\ln (27) - \ln (3))}$

Paso 15.9.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (43046721)}{\ln (27) - \ln (3)}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (43046721)}{\ln (27) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 8$