Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{5}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x^{2} + 2 x}$

Paso 1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x) + 2 x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{5}{2 x (x + 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{5}{2 x (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{5}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x + 1) \cdot 2 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{(x - 3) (x + 1) (2 x)} + \frac{5}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{2 x (x + 1)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{(x - 3) (x + 1) (2 x)} + \frac{5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 1) (2 x)$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{2 x (x + 1) (x - 3)} + \frac{5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 1) (2 x) + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot 2 - 1 \cdot 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(2 \cdot x - 1 \cdot 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 \cdot x - 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot - 3}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.7

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 15}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Paso 6.8

Suma $- 2 x$ y $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 15}{2 x (x + 1) (x - 3)}$