Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ ; para ello, mueve $x^{2}$ fuera del logaritmo.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{27})$ como $\ln (1) - \ln (27)$ .

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 5

Reescribe $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 6

Expande $\ln (3^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 8

Resta $3 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 9

Reescribe $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ como $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 10

Expande $\ln (9^{3 x + 8})$ ; para ello, mueve $3 x + 8$ fuera del logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Paso 11

Expande $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ ; para ello, mueve $x^{2}$ fuera del logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Paso 12

Reescribe $\ln (\frac{1}{81})$ como $\ln (1) - \ln (81)$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Paso 13

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Paso 14

Reescribe $\ln (81)$ como $\ln (3^{4})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Paso 15

Expande $\ln (3^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Paso 16

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Paso 17

Resta $4 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Simplifica $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1.1

Simplifica $- 3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.1.1.3

Reordena los factores en $x^{2} (- \ln (27))$ .

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1

Simplifica $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2.1.1.2

Simplifica $3 \ln (9)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2.1.1.3

Simplifica $8 \ln (9)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2.1.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.1.4.1

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2.1.1.4.2

Eleva $9$ a la potencia de $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Paso 18.2.1.1.5

Simplifica $- 4 \ln (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Paso 18.2.1.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Paso 18.2.1.2

Reordena los factores en $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Paso 18.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Paso 18.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 18.5

Sustituye los valores $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ y $c = - \ln (43046721)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.6.1

Aplica la regla del producto a $- \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.3

Multiplica $\ln^{2} (729)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.8

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.6.9

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Paso 18.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

Forma decimal:

$x = 8, - 2$