Álgebra Ejemplos

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Paso 1

Establece $\cos (x + \frac{π}{4})$ igual a $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.3.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Paso 2.3.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.5

Resuelve $x$

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Paso 2.5.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.1.2

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.5.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.5.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.5.2.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.2

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Paso 2.5.2.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.6

Obtén el período de $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.7

El período de la función $\cos (x + \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3